Los siguientes ejercicios son para la práctica de límites cuando x tiende a un número tal que su función f(x) exista, para lo cual debemos de utilizar la igualdad y simplificar en los ejercicio donde el algebra sea útil para llegar a una respuesta real y no indeterminada. En los ejercicios propuestos y resueltos los límites existen, pero debemos de comprobarlos sin la necesidad de una tabla de aproximación.
Recomiendo usar geogebra para plotear cada función y ver su naturaleza en el plano o su comportamiento y para análizar si \(x\) está en algún punto sobre la gráfica.
Luego de haber comprobado que la función es indeterminada, podemos usar algebra para simplificarlo, vemos que es un polinomio de la forma \(ax^{2} + bx +c\) utilizamos el caso de factorización para simplificarlo. Recuerda dos números que multiplicados den \(a \cdot c\) y sumados o restados den \(b\).
$$(2x)^{2} + 5x -2(3) $$ $$\frac{(2x+6)(2x-1)}{2}$$ $$(x+3)(2x-1) $$ $$Lim_{x\rightarrow -3} \frac{(x+3)(2x-1)}{x+3} = -7 $$ $$Lim_{x\rightarrow -3} (2x-1) = -7 $$ $$2(-3) -1 = -7 $$ $$-6 -1 = -7 $$ $$-7 = -7 $$El límite es resuelto de la misma manera que el anterior, siempre verificando si es indeterminado \(\frac{0}{0}\) y procedemos a factorizar y simplificar.
$$5^{2}x^{2} -4x- 5(1) $$ $$\frac{(5x-5)(5x+1)}{5} $$ $$(x-1)(5x+1) $$ $$Lim_{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)(5x+1)}{x-1} = 6 $$ $$Lim_{x \rightarrow 1} (5x+1) = 6 $$ $$5(1) + 1 = 6 $$ $$6 = 6 $$Luego de haber resuelto unos cuantos ejercicios, procedemos a factorizar siempre y cuando verificando si es indeterminado sin la necesidad de realizar calculos sino más bien reemplazando los valores mentalmente, ahorrando tiempo y trabajo.
$$(6x)^{2} +x -1(6) $$ $$\frac{(6x + 3)(6x-2)}{3 \cdot 2} $$ $$(2x+1)(3x-1) $$ $$x + \frac{1}{2} = \frac{2x + 1}{2} $$ $$Lim_{x \rightarrow -\frac{1}{2}} \frac{(2x+1)(3x-1)}{\frac{2x+1}{2}} $$ $$Lim_{x \rightarrow -\frac{1}{2}} \frac{(2x+1)(3x-1)(2)}{2x+1} $$ $$Lim_{x \rightarrow -\frac{1}{2}} (3x-1)(2) = -5 $$ $$6x-2 = -5 $$ $$6(-\frac{1}{2}) -2 = -5 $$ $$-3-2 = -5 $$ $$-5 = -5 $$Hemos explicado paso a paso estos cuatro ejercicios para demostrar su resolución matemática con el fín de no crear dogmas en esta cienca. Acontinuación encontraras ejercicios del mismo tipo de problemas para que agilices tu habilidad abstracta en el tema de los límites y su continuidad.
| $$\textbf{1.} Lim_{x \rightarrow 3} \frac{4x^{2}-14x + 6}{x-3} = 10.$$ | $$\textbf{2.} Lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}} \frac{6x^{2}-x-1}{x-\frac{1}{2}} = 5.$$ |
| $$\textbf{3.} Lim_{x \rightarrow -\frac{1}{3}} \frac{9x^{2}-1}{x+\frac{1}{3}} = -6.$$ | $$\textbf{4.} Lim_{x \rightarrow 2} \frac{3x^{2}-5x-2}{x-2} = 7.$$ |
| $$\textbf{4.} Lim_{x \rightarrow -\frac{1}{3}} \frac{3x^{2}-2x-1}{x+\frac{1}{3}} = -4.$$ | $$\textbf{5.} Lim_{x \rightarrow -1} \frac{7x^{2}+8x+1}{x+1} = -6.$$ |
| $$\textbf{6.} Lim_{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-4x+3}{x-3} = 2$$ | $$\textbf{7.} Lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}} \frac{2x^{2}+3x-2}{x-\frac{1}{2}} = 5$$ |
| $$\textbf{8.} Lim_{x \rightarrow \frac{1}{3}} \frac{6x^{2}-5x+1}{x-\frac{1}{3}} = -1$$ | $$\textbf{9.} Lim_{x \rightarrow -\frac{7}{5}} \frac{10x^{2}-9x-7}{x+\frac{7}{5}} = -19$$ |
| $$\textbf{10.} Lim_{x \rightarrow -\frac{7}{2}} \frac{2x^{2}+13x+21}{2x+7} = -\frac{1}{2}$$ | $$\textbf{11.} Lim_{x \rightarrow \frac{5}{2}} \frac{2x^{2}-9x+10}{2x-5} = \frac{1}{2}$$ |
| $$\textbf{12.} Lim_{x \rightarrow \frac{1}{3}} \frac{6x^{2}+x-1}{x-\frac{1}{3}}=5$$ | $$\textbf{13.} Lim_{x \rightarrow -\frac{1}{2}}\frac{6x^{2}-75x-39}{x+\frac{1}{2}}=-81$$ |
| $$\textbf{14.} Lim_{x \rightarrow 11} \frac{2x^{2}-21x-11}{x-11} = 23$$ | $$\textbf{15.} Lim_{x \rightarrow 5} \frac{5x^{2}-24x-5}{x-5} = 26$$ |
| $$\textbf{16.} Lim_{x \rightarrow -7} \frac{2x^{2}+15x+7}{x+7} = -13$$ | $$\textbf{17.} Lim_{x \rightarrow -4} \frac{2x^{2}+6x-8}{x+4} = -10$$ |
| $$\textbf{18.} Lim_{x \rightarrow -\frac{1}{3}} \frac{6x^{2}-x-1}{3x+1} = -\frac{5}{3}$$ | $$\textbf{19.} Lim_{x \rightarrow -5} \frac{x^{2}+2x-15}{x+5} = -8$$ |
| $$\textbf{20.} Lim_{x \rightarrow 8} \frac{3x^{2}-40x+128}{x-8} = 8$$ | $$\textbf{21.} Lim_{x \rightarrow 10} \frac{5x^{2}-51x+10}{x-10} = 49$$ |
| $$\textbf{22.} Lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}} \frac{2x^{2}-5x+2}{x-\frac{1}{2}} = -3$$ | $$\textbf{23.} Lim_{x \rightarrow -6} \frac{3x^{2}+17x-6}{x+6} = -19$$ |
| $$\textbf{24.} Lim_{x \rightarrow \frac{1}{3}} \frac{3x^{2} +17x -6}{x - \frac{1}{3}} = 19$$ | $$\textbf{25.} Lim_{x \rightarrow -\frac{1}{5}} \frac{15x^{2}-2x -1}{x+\frac{1}{5}} = -8$$ |
| $$\textbf{26.} Lim_{x \rightarrow \frac{1}{3}} \frac{15x^{2} -2x -1}{x-\frac{1}{3}} = 8$$ |
Cálculo de límites cuando x tiende a un número real sobre su función f(x), cuando es evaluada y no es indeterminada.
Fecha: 25 de Enero 2023
Publicado por: Jorge AML