El estudio númerico de un límite se basa en encontrar si en verdad existe un número L, tal que la función evaluada en "x" pueda aproximarse arbitrariamente tomando valores suficientemente cercanos pero distintos al número "a", tanto por el lado izquierdo como por el lado derecho.
Método
Se contruirá una tabla para los valores correspondientes, asignando valores adecuados a la variable "x", para descubrir si los valores de la función f(x) tienden a algún valor numérico cuando "x" tiende al valor indicado.
Utilizamos los valores negativos ya que vemos nuestro límite tiende a menos infinito, empezamos desde el valor más pequeño hasta el más grande posible para poder encontrar la aproximación real del límite.
Podemos observar que el límite existe cuando \(x\) tiende a menos infinito de \(f(x)\) obteniendo la aproximación al resultado de \(-0.89\) siendo más cercano a \(-0.9\).
Ahora usaremos métodos algebraicos para encontrar el límite de una forma más precisa. Multiplicando y dividiendo por la variable \(x\) más elevada en el denominador, para obtener la expresión \(1/x\)
En este límite evaluaremos todos los posibles valores que se acerquen al cero, tanto por la izquierda como por la derecha. Usaremos de nuevo una tabla para crear nuestras aproximaciones del límite.
Podemos concluir que el límite existe evaluando valores muy próximos por la izquierda y por la derecha cercanos al cero, encontrando el valor aproximado de \(3.12\)
Ahora usaremos los métodos algebraicos para poder obtener el valor del límite sin el uso de la tabla y sus valores proximos al cero, para este caso necesitamos emplear el conjugado del numerador e ir simplificando para poder eliminar el cero en el denominador y así poder evaluar el límite hasta encontrar un número por el cual el límite existe.
Podemos llegar a la conclusión de que el límite existe ya que encontramos un valor por la derecha y por la izquierda siendo \(0.50\)
Ahora aplicaremos algebra para poder encontrar el límite, antes de proceder debemos de analizar y estudiar el límite para poder aplicar métodos de simplificación el límite debe de expresarse de la forma \(\frac{0}{0}\), para este caso usaremos la división sintética, diferencia de cuadrados y multiplicar por su conjugado, lo explicaremos detalladamente para no crear dogmas.
Seguiremos aplicando la noción intuitiva del límite mediante aproximaciones de izquierda a derecha cuando tiende al cero.
x
f(x)
x
f(x)
-0.1
1.225027
0.1
1.656119
-0.01
1.393256
0.01
1.435689
-0.001
1.412094
0.001
1.416337
Conclusión
Podemos concluir que el límite existe cuando se aproxima a cero por la izquierda y por la derecha con un valor de \(1.41\).
Ahora resolveremos el límite con algebra e identidades trigonómetricas teniendo cuidado en la simplificación y tratando de llegar a las formas \(\frac{\sin{t}}{t}\) o la expresión \(\frac{1-\cos{t}}{t}\), recordando que debemos de verificar que al sustituir por cero obtenemos una forma indeterminada del límite \(\frac{0}{0}\) siendo así, lo explicaremos detalladamente para evitar dogmas en las matemáticas.
$$Lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sec({\frac{\pi}{4}+h})-\sec{\frac{\pi}{4}}}{h} = \frac{0}{0}$$
$$\text{Utiliza la identidad} \sec{x} = \frac{1}{\cos{x}}$$
$$Lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{\cos({\frac{\pi}{4}+h})}-\frac{1}{\cos{\frac{\pi}{4}}}}{h}$$
$$\text{Opera las fracciones en cruz, los denominadores en línea recta, multiplica extremos y medios.}$$
$$Lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos{\frac{\pi}{4}}-\cos{(\frac{\pi}{4}+h)}}{h(\cos({\frac{\pi}{4}+h}))(\cos{\frac{\pi}{4}})}$$
$$\text{Utiliza las identidades de suma y diferencia de ángulos para } \cos{\frac{\pi}{4}+h}$$
$$Lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos{\frac{\pi}{4}}-[\cos{\frac{\pi}{4}}cos{h}-\sin{\frac{\pi}{4}}\sin{h}]}{h(\cos{\frac{\pi}{4}+h})(\cos{\frac{\pi}{4}})}$$
$$Lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos{\frac{\pi}{4}}-\cos{\frac{\pi}{4}}\cos{h}+\sin{\frac{\pi}{4}}\sin{h}}{h(\cos{\frac{\pi}{4}+h})(\cos{\frac{\pi}{4}})}$$
$$Lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos\frac{\pi}{4}(1-\cos{h})+\sin{\frac{\pi}{4}}\sin{h}}{h(\cos{\frac{\pi}{4}+h})(\cos{\frac{\pi}{4}})}$$
$$Lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos{\frac{\pi}{4}}\color{red}(1-\cos{h})}{(\cos{\frac{\pi}{4}+h})(\cos{\frac{\pi}{4}})\color{red}h} + Lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin{\frac{\pi}{4}}\color{red}\sin{h}}{(\cos{\frac{\pi}{4}+h})(\cos{\frac{\pi}{4}})\color{red}h}$$
$$0 + Lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin{\frac{\pi}{4}}}{(\cos{\frac{\pi}{4}+h})(\cos{\frac{\pi}{4}})}$$
$$\text{Evaluando el límite}$$
$$\frac{\sin{\frac{\pi}{4}}}{(\cos{\frac{\pi}{4} + 0})(\cos{\frac{\pi}{4}})} = \color{green}1.41$$
Para poder verificar que el límite exista seguimos usando la tabla para aproximar al infinito, buscaremos todos aquellos números que tiendan al infinito positivo.
x
f(x)
1
2.324555
10
2.895221
100
2.988834
1000
2.998875
10000
2.999885
Vemos que el límite existe cuando tiende al infinito positivo obteniendo un número real siendo \(2.99\) acercandose al 3
Ahora resolveremos el límite por métodos algebraicos, usando multiplicación de conjugados y aplicando las leyes de los límites, estos métodos los hemos usado anteriormente.
